Universidad Nacional Autónoma de México

Colegio de CienciaS y HumanidadesPlantel SUR

Matemáticas III

profesora:

MARÍA MONICA FUENTES ROMERO

tema No. 4

"La parábola y su ecuación cartesiana"

Equipo No.4

Antonio Acosta Quesada

Ailyn Bandín Jimenez

Mariana Becerril Rufino

Carlos Martínez Flores 

Grupo

322-A

Historia de la parábola

El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Videos "Parábola"

Obtener la ecuación de la parábola dado su vértice,foco y directriz.

Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por tres puntos

Applet. "Parabola"

Equation of Parabola 

This is an applet to explore the equation of a parabola and its properties. The equation used is the standard equation that has the form (y - k)2 = 4a(x - h) where h and k are the x- and y-coordinates of the vertex of the parabola and a is a non zero real number (in this investigation we consider only cases with positive a). For the definition and construction of a parabola Go here. Examples of applications of the parabolic shape as Parabolic Reflectors and Antennas and a tutorial on how to Find The Focus of Parabolic Dish Antennas and on How Parabolic Dish Antennas work? are included in this site. The exploration is carried out by changing the parameters h, k and a included in the above equation. Follow the steps in the tutorial below. For similar tutorials on circle , Ellipse and the hyperbola can be found in this site. TUTORIAL Answers and Solutions to questions 2 to 9 can be found here 1 - click on the button above "click here to start" and MAXIMIZE the window obtained. At the start a = 1, h = 0 and k = 0. 2 - Keep the values of a, h and k as above (do not change the positions of the sliders). Find the equation of the directrix and the coordinates of the vertex V and focus F. Find the equation of the axis of symmetry of the parabola (line through V and F). 3 - Use the top slider to set a = 2 and answer the same questions as in part 2 above. 4 - Set a = 1, h = 0 and change k (using the slider). Find a relationship between the y-coordinate of F and parameter k. Find a relationship between the y-coordinate of V and k. Find a relationship between the position (or equation) of the axis of the parabola and k. Does the position of the vertex change? 5 - Set a = 1, k = 0 and change h (using the slider). Find a relationship between the x-coordinate of F and parameter h. Find a relationship between the x-coordinate of V and h. Find a relationship between the position (or equation) of the directrix of the parabola and h. Does the position of the axis change? 6 - Use parts 1,2,3,4 and 5 above to find the coordinates of V and F and the equations of the directrix and axis of the parabola in terms of h and k. 7 - Set a = 1, k = 0 and change h. Which values of h give two y-intercepts? Which values of h give no y-intercepts? Which values of h give one y-intercept?Explain your answers analytically.(Hint: find the y-intercepts by setting x = 0 and solve for y). 8 - Investigate the x-intercept. Explain why the parabola as defined above has one x-intercept only. 9 - Exercise: Show that the following equation y2 - 4y - 4x = 0 can be written as (y-k)2 = 4a(x - h) Hint: put all terms with y and y2 together in one side and all terms with x in the other side of the equation. Complete the square for the expression containing y and y2. Find a, h and k. Find the coordinates of V and F. Find the equations of the axis and directrix of this parabola. Put the values of a, h and k in the applet and check your answer.

^[

Teoria. "Parabola"

UNIDAD V

LA PARABOLA Y SU ECUACION CARTESIANA

·         Parábola

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz: ^[] (es una línea que a causa de su movimiento conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva) ^[]

Definición: Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

Ø Otra definición: En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola presenta en llega varios elementos que la componen como son:

Directriz:

En geometría la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz)

FOCO:

el foco de una curva o de una superficie es un punto singular, por lo general no perteneciente a ella, respecto del cual se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con todos los puntos de la misma. Una figura puede tener asociados más de un foco.

Ø  El foco de la parábola es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz.

Lado recto:

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Vértice

Es el punto de intersección de la parábola

Eje

Es la recta perpendicular a la directriz que paso por el foco.

Distancia focal

 La distancia focal o longitud focal de una lente es la distancia entre el centro óptico de la lente o plano nodal posterior y el foco (o punto focal) cuando enfocamos al infinito.

·        Ecuaciones cartesianas.

ü  Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

ü  agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .

ü  Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .

Ecuación involucrando la distancia focal

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

De forma alterna:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es .

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es ,

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es ,

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es .

Ecuación general de una parábola

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es: si y sólo si y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

, donde a es distinto de cero.